Question

已知总体的各个体的值由小到大依次为2，4，a，b，12，18 （a＞0，b＞0），且总体的中位数为6，若总体的方差最小时，则函数f（x）=ax²+2bx+1的最小值是

 

．

Answer 1

考点：众数、中位数、平均数,二次函数的性质

专题：概率与统计

分析：根据这组数据的中位数，得到a+b=12，求出这组数据的平均数为8，得到总体的方差最小，只要两个数字的平方和最小，得到结果．

解答： 解：∵总体的各个体的值由小到大依次为2，4，a，b，12，18 （a＞0，b＞0），且总体的中位数为6，
∴a+b=12，
∵这组数据的平均数是

1

6

（2+4++a+b+12+18）=8，
∴这组数据的方差是

1

6

[（2-8）²+（4-8）²+（a-8）²+（b-8）²+（12-8）²+（18-8）²]，
设m=（2-8）²+（4-8）²+（12-8）²+（18-8）²，则m为常数，
∴要使总体的方差最小，则（a-8）²+（b-8）²最小即可，
设n=（a-8）²+（b-8）²=（a-8）²+（12-a-8）²=2（a-6）²+8时，
∴当a=6时，n取得最小值，此时b=6．
∴要使该总体的方差最小，则有a=b=6，
则函数f（x）=ax²+2bx+1=6x²+12x+1=6（x+1）²-5≥-5，
∴函数f（x）=ax²+2bx+1的最小值是-5．
故答案为：-5

点评：本题主要考查二次函数的最值求法，利用中位数和方差的定义和性质求出a，b的值是解决本题的关键，考查学生的计算能力．