Question

已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17；
（1）求f（x）；
（2）求当x∈（-1，3]时，f（x）的值域．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意设f（x）=ax+b，利用f（x）满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，利用恒等式的性质即可得出；
（2）由f（x）的单调性，即可得到值域．

解答： 解：（1）由题意设f（x）=ax+b，（a≠0）．
∵f（x）满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，
∴3[a（x+1）+b]-2[a（x-1）+b]=2x+17，
化为ax+（5a+b）=2x+17，
∴

a=2 5a+b=17

，解得

a=2 b=7

．
∴f（x）=2x+7．
（2）∵f（x）在R上单调递增，
∴当x∈（-1，3]时，f（x）∈（-2+7，2×3+7]，
∴f（x）的值域为（5，13]．

点评：本题考查了“待定系数法”求一次函数的解析式和恒等式的性质，同时考查一次函数的单调性及运用：求值域，属于基础题．