Question

用记号

n

i=0

a_i表示a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n，b_n=

n

i=0

a_2i，其中i∈N，n∈N^*．
（1）设

2n

k=1

（1+x）^k=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2n-1x^2n-1+a_2nx²ⁿ（x∈R），求b₂的值；
（2）若a₀，a₁，a₂，…，a_n成等差数列，求证：

n

i=0

（a_iC

i n

）=（a₀+a_n）•2^n-1；
（3）在条件（1）下，记d_n=1+

n

i=1

[（-1）ⁱb_iC

i n

]，计算

lim

n→∞

dn

bn

的值．

Answer 1

考点：极限及其运算

专题：计算题

分析：（1）将n=2代入，再令x=1，-1，即可求b₂的值；
（2）设等差数列的通项公式为a_n=a₀+nd，利用k

C

k n

=n

C

k-1 n-1

，即可得出结论；
（3）求出b_n=4ⁿ-1、d_n=（-3）ⁿ+1代入

lim

n→∞

dn

bn

，即可求值．

解答： （1）解：将n=2代入

2n

k=1

（1+x）^k=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2n-1x^2n-1+a_2nx²ⁿ中得，

4

i=1

（1+x）^k=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，
其中a₀+a₁+a₂+a₃+a₄=2+4+8+16=30，
a₀-a₁+a₂-a₃+a₄=0，
所以b₂=a₀+a₂+a₄=15；
（2）证明：设等差数列的通项公式为a_n=a₀+nd，其中d为公差，
则

n

i=0

（a_iC

i n

）=a₀（

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

）+d（

C

1 n

+2

C

2 n

…+n

C

n n

），
因为k

C

k n

=n

C

k-1 n-1

，
所以

C

1 n

+2

C

2 n

…+n

C

n n

=n（

C

0 n-1

+

C

1 n-1

+…+

C

n-1 n-1

），
所以

n

i=0

（a_iC

i n

）=a₀•2n+nd•2^n-1=（2a₀+nd）•2^n-1=（a₀+a_n）•2^n-1；
（3）解：令x=1，则

2n

i=0

a_i=2+2²+…+2²ⁿ=

2(1-4n)

1-2

=2•4ⁿ-2，
x=-1，则

2n

i=0

[（-1）ⁱa_i]=0，
所以b_n=

n

i=0

a_2i=4ⁿ-1
根据已知条件可知，d_n=1+

n

i=0

[（-1）ⁱb_iC

i n

]=（-3）ⁿ+1，
将b_n=4ⁿ-1、d_n=（-3）ⁿ+1，代入

lim

n→∞

dn

bn

得到：

lim

n→∞

dn

bn

=

lim

n→∞

(-3)n+1

4n-1

=

lim

n→∞

(- 3 4 )n-( 1 4 )n

1-( 1 4 )n

=0．

点评：本题考查数列的应用，考查二项式定理的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．