Question

已知函数f（x）=5sinx•cosx-5

3

cos²x+

5

2

3

（x∈R）．求：
（1）f（x）的最小正周期；
（2）f（x）的单调区间；
（3）f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的定义域和值域,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）根据二倍角公式，两角和与差的正弦公式化简可得解析式f（x）=5sin（2x-

π

3

），由三角函数的周期性及其求法即可求T的值．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

可解得f（x）的单调递增区间；由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

可解得单调递减区间．
（3）根据正弦函数的性质即可求得f（x）的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=5sinx•cosx-5

3

cos²x+

5

2

3

=

5

2

sin2x-5

3

×

1+cos2x

2

+

5

2

3

=

5

2

sin2x-

5 3

2

cos2x=5sin（2x-

π

3

）
∴T=

2π

2

=π
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

可解得：x∈[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

可解得：x∈[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]（k∈Z）
故f（x）的单调递增区间是：[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z），单调递减区间是：[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]（k∈Z）．
（3）f（x）_max=5，f（x）_min=-5．

点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数，二倍角公式的应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性等基础知识，属于基础题．