Question

已知F₁，F₂是双曲线x²-

y2

15

=1的两个焦点，以F₁，F₂为焦点的椭圆E的离心率等于

4

5

，点P（m，n）在椭圆E上运动，线段F₁F₂是圆M的直径         
（1）求椭圆E的方程；               
（2）求证：直线mx+ny=1与圆M相交，并且直线mx+ny=1截圆M所得弦长的取值范围为[

2 143

3

，

2 399

5

]．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出双曲线的焦点，可得椭圆的c=4，由离心率的计算公式可得a，进而得到b，从而得到椭圆方程；
（2）求出圆M的方程，运用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，判断小于半径，再由弦长公式，结合椭圆的参数方程，可得d的范围，进而得到弦长范围．

解答： （1）解：双曲线x²-

y2

15

=1的两个焦点为F₁（-4，0），F₂（4，0），
则椭圆的c=4，
椭圆E的离心率等于

4

5

，即

c

a

=

4

5

，即有a=5，b=

52-42

=3，
则椭圆E的方程为

x2

25

+

y2

9

=1；
（2）证明：圆M的圆心M为（0，0），半径为4，
则圆M：x²+y²=16，
M到直线mx+ny=1的距离为d=

1

m2+n2

，
由于P在椭圆上，则可设m=5cosα，n=3sinα，
由m²+n²=25cos²α+9sin²α=16cos²α+9∈[9，25]，
则d∈[

1

5

，

1

3

]，则d＜r，直线和圆相交；
弦长a=2

r2-d2

=2

16-d2

，
则有a∈[

2 143

3

，

2 399

5

]．
故直线mx+ny=1截圆M所得弦长的取值范围为[

2 143

3

，

2 399

5

]．

点评：本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，考查弦长公式的运用，考查椭圆参数方程的运用，属于中档题．