Question

椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，右顶点为A，P为椭圆C₁上任意一点．
（1）求

PF1

•

PF2

 的最大值；
（2）设双曲线C₂以椭圆C₁的焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线C₂在第一象限上任意一点，当

PF1

•

PF2

的最大值为3c²时，是否存在常数λ（λ＞0），使得∠BAF₁=λ∠BF₁A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意，F₁（-c，0），F₂（c，0），P（x，y），从而表示出向量

PF1

，

PF2

；进而求

PF1

•

PF2

 的最大值；
（2）双曲线方程为3x²-y²=3c²，设动点B（m，n）（m＞c），表示出向量

F1B

=（m+c，n），

F1A

=（3c，0），

AB

=（m-2c，n），

AF1

=（-3c，0），从而求出cos∠BAF₁，cos∠BF₁A；从而求出λ的值．

解答： 解：（1）由题意，F₁（-c，0），F₂（c，0），P（x，y）；
则

PF1

=（-c-x，-y），

PF2

=（c-x，-y），
则

PF1

•

PF2

=x²+y²-c²=x²+b²-

b2

a2

x2-c²
=（1-

b2

a2

）x²+b²-c²，
则当x=a或x=-a时，

PF1

•

PF2

有最大值，

PF1

•

PF2

=a²-c²=b²．
（2）当b²=3c²时，
可得双曲线方程为3x²-y²=3c²，
设动点B（m，n）（m＞c），
则有n²=3（m²-c²），

F1B

=（m+c，n），

F1A

=（3c，0），

AB

=（m-2c，n），

AF1

=（-3c，0），
于是：cos∠BAF₁=

-(m-2c)

(m-2c)2+n2

=

2c-m

4m2-4cm+c2

=

2c-m

2m-c

，
cos∠BF₁A=

m+c

(m+c)2+n2

=

m+c

4m2+2cm-2c2

，
∵2cos²∠BF₁A-1=

2m2+4mc+2c2

4m2+2cm-2c2

-1=

2c-m

2m-c

=cos∠BAF₁，
∴∠BAF₁=2∠BF₁A，
即λ=2．

点评：本题考查了平面向量的应用，同时考查了椭圆的性质，属于中档题．