Question

14．直线y=k（x+2）-1恒过定点A，且点A在直线$\frac{1}{m}$x+$\frac{1}{n}$y+8=0（m＞0，n＞0）上，则2m+n的最小值为$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 直线y=k（x+2）-1恒过定点A（-2，-1），把点A代入直线$\frac{1}{m}$x+$\frac{1}{n}$y+8=0（m＞0，n＞0），可得：$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$=8．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：直线y=k（x+2）-1恒过定点A（-2，-1），
把点A代入直线$\frac{1}{m}$x+$\frac{1}{n}$y+8=0（m＞0，n＞0），可得：$\frac{-2}{m}$-$\frac{1}{n}$+8=0，化为$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$=8．
则2m+n=（2m+n）×$\frac{1}{8}$$（\frac{2}{m}+\frac{1}{n}）$=$\frac{1}{8}$$（5+\frac{2n}{m}+\frac{2m}{n}）$≥$\frac{1}{8}（5+2×2\sqrt{\frac{m}{n}×\frac{n}{m}}）$=$\frac{9}{8}$，当且仅当m=n=$\frac{8}{3}$时取等号．
故答案为：$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查了直线过定点问题、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．