Question

5．已知函数f（x）=cos²x-$\sqrt{3}$sinxcosx+1．
（1）求函数f（x）的周期，并求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（θ）=$\frac{5}{6}$，且 $\frac{π}{3}$＜θ＜$\frac{2π}{3}$，求sin2θ的值．

Answer 1

分析 （1）运用二倍角的正弦和余弦公式，及两角和的余弦公式，化简函数f（x），再由正弦函数的周期和单调增区间，解不等式即可得到；
（2）f（θ）=$\frac{5}{6}$，求出cos（2θ+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{2}{3}$，结合θ的范围及同角三角函数的基本关系，求出sin（2θ+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，通过sin2θ=sin（2θ+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{3}$），利用两角差的正弦函数求解即可．

解答 解：（1）f（x）=cos²x-$\sqrt{3}$sinxcosx+1，
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1，
=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$． …（3分）
f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π-------…（4分）
由2kπ+π≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+2π，
解得：kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调递增区间：[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]（k∈Z）．  …（6分）
（Ⅱ）由f（θ）=$\frac{5}{6}$，得cos（2θ+$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{6}$，cos（2θ+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{2}{3}$．  …（8分）
又θ∈（ $\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∴2θ+$\frac{π}{3}$∈（π，$\frac{5π}{3}$），
sin（2θ+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（2θ+\frac{π}{3}）}$=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$． …（10分）
故sin2θ=sin（2θ+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$sin（2θ+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（2θ+$\frac{π}{3}$），
=$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{6}$，
∴sin2θ=$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{6}$．  …（12分）

点评 本题考查三角函数的二倍角公式和两角和的正弦公式，考查正弦函数的周期性和单调性，函数的单调性函数值的求法，考查计算能力，属于中档题．