Question

设函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
（1）试判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）试判断函数f（x）在R上的单调性，并说明理由．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的单调性及单调区间

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）运用奇偶性的定义，首先判断定义域是否关于原点对称，再计算f（-x），与f（x）比较即可判断其偶性；
（2）对a讨论，分a＞1，0＜a＜1，结合指数函数的单调性和单调性的性质即可判断．

解答： 解：（1）函数f（x）为奇函数．
理由如下：f（x）的定义域为R，关于原点对称，
f（-x）=a^-x-a^x=-（a^x-a^-x）=-f（x），
则f（x）为奇函数；
（2）当a＞1时，在R上，y=a^x递增，y=a^-x递减，
则f（x）=a^x-a^-x在R上递增；
当0＜a＜1时，在R上，y=a^x递减，y=a^-x递增，
则f（x）=a^x-a^-x在R上递减．
综上，a＞1时f（x）为R上的增函数；0＜a＜1时，f（x）为R上的减函数．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题和易错题．