Question

惠州市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．
（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（2）已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，求第二次训练时恰好取到1个新球的概率．
参考公式：互斥事件加法公式：P（A∪B）=P（A）+P（B）（事件A与事件B互斥）．
独立事件乘法公式：P（A∩B）=P（A）•P（B）（事件A与事件B相互独立）．
条件概率公式：P(B|A)=

P(AB)

P(A)

．

Answer 1

考点：条件概率与独立事件,相互独立事件的概率乘法公式

专题：应用题,概率与统计

分析：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，设“第一次训练时取到i个新球（即ξ=i）”为事件A_i（i=0，1，2），求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望；
（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B，则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A₀B+A₁B+A₂B．而事件A₀B、A₁B、A₂B互斥，由此可得结论．

解答： 解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2                
设“第一次训练时取到i个新球（即ξ=i）”为事件A_i（i=0，1，2）．
因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，
所以P（A₀）=P（ξ=0）=

C 2 3

C 2 6

=

1

5

；P（A₁）=P（ξ=1）=

C 1 3 C 1 3

C 2 6

=

3

5

；P（A₂）=P（ξ=2）=

C 2 3

C 2 6

=

1

5

，
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P	1 5	3 5	1 5

ξ的数学期望为Eξ=0×

1

5

+1×

3

5

+2×

1

5

=1．    
（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B，
则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A₀B+A₁B+A₂B，而事件A₀B、A₁B、A₂B互斥，
所以P（A₀B+A₁B+A₂B）=P（A₀B）+P（A₁B）+P（A₂B）=

1

5

×

C 1 3 C 1 3

C 2 6

+

3

5

×

C 1 2 C 1 4

C 2 6

+

1

5

×

C 1 5

C 2 6

=

38

75

． 
所以第二次训练时恰好取到一个新球的概率为

38

75

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出概率是关键．