Question

已知奇函数f（x）在（-

1

2

，

1

2

）上是减函数，并且f（1-sinα）+f（1-sin²α）＜0，求角α的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：根据函数的定义域，单调性和奇偶性，可将不等式转化为：-

1

2

＜sin²α-1＜1-sinα＜

1

2

，解得：

2

2

＜sinα＜1，进而结合正弦函数的定义，得到角α的取值范围．

解答： 解：∵奇函数f（x）在（-

1

2

，

1

2

）上是减函数，
则不等式f（1-sinα）+f（1-sin²α）＜0可化为：f（1-sinα）＜-f（1-sin²α），
即f（1-sinα）＜f（sin²α-1），
即-

1

2

＜sin²α-1＜1-sinα＜

1

2

，
解得：

2

2

＜sinα＜1，
故α∈（

π

4

+2kπ，

π

2

+2kπ）∪（

π

2

+2kπ，

3π

4

+2kπ），（k∈Z）

点评：本题考查的知识点是函数的定义域，函数的单调性，函数的奇偶性，正弦函数的图象和性质，是函数与三角函数的综合应用，难度中档．