Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a²+b²-c²=ab，若△ABC的周长为3，则△ABC的面积最大值为

 

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：由余弦定理和已知可得C=

π

3

，由a+b+c=3，即c=3-（a+b），又由余弦定理得9-6（a+b）+（a+b）²=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，整理可得即3ab+9=6（a+b），
而 a+b≥2

ab

，当且仅当a=b时取等号，从而可解得：

ab

≥3或

ab

≤1，从而可求得△ABC的面积S=

1

2

absinC≤

1

2

×

3

2

×1=

3

4

．

解答： 解：∵△ABC中，a²+b²-c²=ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∴C=

π

3

，
∵a+b+c=3，即c=3-（a+b），
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即9-6（a+b）+（a+b）²=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
∴即3ab+9=6（a+b），
而 a+b≥2

ab

，当且仅当a=b时取等号，
即3ab+9≥12

ab

，
即ab-4

ab

+3≥0，
可解得：

ab

≥3或

ab

≤1，
∴△ABC的面积S=

1

2

absinC≤

1

2

×

3

2

×1=

3

4

，
故答案为：

3

4

．

点评：本题主要考察了余弦定理的应用，不等式的解法，属于中档题．