Question

设α，β，γ是锐角，且tan

α

2

=tan³

r

2

，tanβ=

1

2

tanγ，求证：α+γ=2β．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：证明题,三角函数的求值

分析：由题意可得tanβ=

1

2

tanγ=

tan γ 2

1-tan2 γ 2

=

tanγ(1+tan2 γ 2 )

(1-tan2 γ 2 )(1+tan2 γ 2 )

=

tan γ 2 +tan α 2

1-tan γ 2 tan α 2

=tan

γ+α

2

，再分析角的范围可得β=

γ+α

2

，即有α+γ=2β．

解答： 证明：∵tanβ=

1

2

tanγ=

tan γ 2

1-tan2 γ 2

=

tanγ(1+tan2 γ 2 )

(1-tan2 γ 2 )(1+tan2 γ 2 )

=

tan γ 2 +tan α 2

1-tan γ 2 tan α 2

=tan

γ+α

2

∵α，β，γ是锐角，
∴

γ+α

2

也是锐角，
∴β=

γ+α

2

，即有α+γ=2β．

点评：本题主要考查了二倍角的正切公式的应用，属于基础题．