Question

2．下列各式中，最小值为2的是（　　）

• A． $x+\frac{1}{x}$
• B． $\sqrt{{x^2}+2}+\frac{4}{{\sqrt{{x^2}+2}}}$
• C． $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$
• D． $x-2\sqrt{x}+3$

Answer 1

分析 A．x＜0时，$x+\frac{1}{x}$＜0，即可判断出结论；
B．利用基本不等式的性质可得$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{4}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$≥4，可知不成立．
C．若$\frac{y}{x}$＜0，$\frac{x}{y}$＜0，则不成立．
D．由于x≥0，可得$x-2\sqrt{x}$+3=$（\sqrt{x}-1）^{2}$+2，利用二次函数的单调性即可判断出结论．

解答 解：A．x＜0时，$x+\frac{1}{x}$＜0，因此不成立；
B.$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{4}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$≥2$\sqrt{\sqrt{{x}^{2}+2}•\frac{4}{\sqrt{{x}^{2}+2}}}$=4，当且仅当x=$\sqrt{2}$时取等号，不成立．
C．若$\frac{y}{x}$＜0，$\frac{x}{y}$＜0，则不成立．
D．∵x≥0，∴$x-2\sqrt{x}$+3=$（\sqrt{x}-1）^{2}$+2≥2，当x=1时取等号，因此其最小值为2．正确．
故选：D．

点评 本题考查了基本不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．