Question

11．若双曲线上存在点P，使得P到两个焦点的距离之比为2：1，则称此双曲线存在“L点”，下列双曲线中存在“L点”的是（　　）

• A． ${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$
• B． ${x^2}-\frac{y^2}{9}=1$
• C． ${x^2}-\frac{y^2}{15}=1$
• D． ${x^2}-\frac{y^2}{24}=1$

Answer 1

分析 验证四个答案中哪一个符合题干中的条件：存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2：1．

解答 解：若双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
则双曲线的两个焦点为F₁（-$\sqrt{5}$，0）、F₂（$\sqrt{5}$，0）．
设P（x，y）则
|PF₁|²=（x+$\sqrt{5}$）²+y²，
|PF₂|²=（x-$\sqrt{5}$）²+y²，
∴（x+$\sqrt{5}$）²+y²=4[（x-$\sqrt{5}$）²+y²]②
又x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1②
①②联立，解得
$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9\sqrt{5}}{15}}\\{y=\frac{4\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9\sqrt{5}}{15}}\\{y=-\frac{4\sqrt{5}}{5}}\end{array}\right.$，
则存在点P（$\frac{9\sqrt{5}}{15}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）或（$\frac{9\sqrt{5}}{15}$，-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）使得|PF₁|：|PF₂|=2：1
即双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1存在“L点”，
故选：A．

点评 本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．