Question

10．已知AB是圆C：x²+y²-4x+2y+a=0的一条弦，M（1，0）是弦AB的中点，若AB=3，则实数a的值是$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 利用配方法得到圆的标准方程，求出直线方程、圆心到直线的距离，根据弦AB=3，求出圆的半径，即可得到a的值．

解答 解：圆C：x²+y²-4x+2y+a=0，即（x-2）²+（y+1）²=-a+5，
则圆心C（2，-1），半径r=$\sqrt{5-a}$，
∵弦AB的中点为M（1，0）．
∴直线CM的斜率k=-1，
则直线l的斜率k=1，
则直线l的方程为y-0=x-1，即x-y-1=0．
圆心C到直线x-y-1=0的距离d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
若弦AB=3，
则2+$\frac{9}{4}$=5-a，
解得a=$\frac{3}{4}$，
故答案为$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查直线和圆的方程的应用，利用配方法将圆配成标准方程是解决本题的关键．