Question

已知曲线C₁的参数方程为

x=-t y= 3 t

（t为参数），当t=1时，曲线C₁上的点为A，当t=-1时，曲线C₁上的点为B．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=

6

4+5sin2θ

．
（1）求A、B的极坐标；
（2）设M是曲线C₂上的动点，求|MA|²+|MB|²的最大值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）当t=1时，代入参数方程可得即A(-1，

3

)，利用ρ=

x2+y2

，tanθ=

y

x

即可得出
点A的极坐标，同理可得B(1，-

3

)及其点B的极坐标．
（2）由ρ=

6

4+5sin2θ

，化为4ρ²+5（ρsinθ）²=36，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可化为直角坐标方程，设曲线C₂上的动点M（3cosα，2sinα），可得|MA|²+|MB|²=10cos²α+16，再利用余弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）当t=1时，代入参数方程可得

x=-1 y= 3

即A(-1，

3

)，
∴ρ=

(-1)2+( 3 )2

=2，tanθ=

3

-1

=-

3

，∴θ=

2π

3

，∴点A的极坐标为(2，

2π

3

)．
当t=-1时，同理可得B(1，-

3

)，点B的极坐标为(2，

5π

3

)．
（2）由ρ=

6

4+5sin2θ

，化为ρ²（4+5sin²θ）=36，∴4ρ²+5（ρsinθ）²=36，化为4（x²+y²）+5y²=36，化为

x2

9

+

y2

4

=1，设曲线C₂上的动点M（3cosα，2sinα），
则|MA|²+|MB|²=(3cosα+1)2+(2sinα-

3

)2+(3cosα-1)2+(2sinα+

3

)2
=18cos²α+8sin²α+8
=10cos²α+16≤26，当cosα=±1时，取得最大值26．
∴|MA|²+|MB|²的最大值是26．

点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、椭圆的标准方程及其参数方程、三角函数基本关系式、余弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．