Question

13．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，（x＞0）}\\{-{x}^{2}-2x，（x≤0）}\end{array}\right.$，若f（a）=f（b）=f（c）=f（d）（其中a＜b＜c＜d），则a+b+c+d的取值范围是（0，$\frac{81}{10}$）．

Answer 1

分析 作出f（x）的函数图象，根据图象得出a+b=-2，cd=1，且1＜d＜10，从而可得a+b+c+d的取值范围．

解答 解：作出f（x）的函数图象如图所示：

∵f（a）=f（b）=f（c）=f（d），
∴a+b=-2，cd=1，且d＞1，0＜lgd＜1，
∴1＜d＜10．
∴a+b+c+d=$\frac{1}{d}+d$-2（1＜d＜10），
令g（d）=$\frac{1}{d}+d$-2（1＜d＜10），则g′（d）=1-$\frac{1}{{d}^{2}}$＞0，
∴g（d）在（1，10）上单调递增，
∴g（1）＜g（d）＜g（10），即0＜g（d）＜$\frac{81}{10}$．
故答案为：（0，$\frac{81}{10}$）．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数单调性判断与值域计算，属于中档题．