Question

2．有下列命题：
①若f（x）存在导函数，则f'（2x）=[f（2x）]'；
②若g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2013），则g'（2013）=2012!；
③若函数y=f（x）满足f′（x）＞f（x），则当a＞0时，f（a）＞e^af（0）；
④若f（x）=ax³+bx²+cx+d，则a+b+c=0是f（x）有极值点的充要条件．
其中正确命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根据复合函数求导法则即可判断正误；
②令f（x）=（x-1）（x-2）…（x-2012），g（x）=f（x）（x-2013），求导即可判断；
③构造函数f（x）=e^2x，得到e^2a＞e^2a，问题得以判断正误；
④根据函数零点的定义，求出函数存在零点的充要条件即可．

解答 解：对于①，f（2x）为复合函数，故其导数为f′（2x）×（2x）′=2f′（2x），∴①错误；
对于②，令f（x）=（x-1）（x-2）…（x-2012），
∴g（x）=f（x）（x-2013），
∴g′（x）=f′（x）（x-2013）+f（x）（x-2013）′，
∴g′（2013）=f′（2013）（2013-2013）+（2013-1）（2013-2）…（2013-2012）=2012!，∴②正确；
对于③，设函数f（x）=e^2x，则其导函数f′（x）=2e^2x，满足f′（x）＞f（x），
由f（a）=e^2a，e^af（0）=e^a，当a＞0时，e^2a＞e^2a，∴f（a）＞e^af（0），故③正确；
对于④，∵f（x）=ax³+bx²+cx+d，∴f′（x）=3ax²+2bx+c，
又f（x）有极值点?f′（x）=0有两个不相等的实数根?△=4b²-12ac＞0，∴④错误．
综上，正确的命题是②③，共2个．
故选：B．

点评 本题主要复合函数求导法则，以及函数零点的充要条件，关键是掌握导数基本概念，属于中档题．