Question

已知f（x）=sin

kπ

4

，k∈Z．
（1）求证：f（1）+f（2）+…+f（8）=f（9）+f（10）+…+f（16）；
（2）求f（1）+f（2）+…+f（2011）的值．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：（1）由于f（x）的最小正周期为

2π

π 4

=8，可得f（1）=f（9），f（2）=f（10），f（3）=f（11），…f（8）=f（16），从而证得要证的等式．
（2）根据 f（1）+f（2）+…+f（8）=0，要求的式子为 251×[f（1）+f（2）+…+f（8）]+f（1）+f（2）+f（3），从而求得它的值．

解答： 解：（1）由于f（x）=sin

kπ

4

，k∈Z的最小正周期为

2π

π 4

=8，∴f（1）=f（9），f（2）=f（10），f（3）=f（11），…f（8）=f（16），
∴f（1）+f（2）+…+f（8）=f（9）+f（10）+…+f（16）．
（2）∵f（1）+f（2）+…+f（8）=

2

2

+1+

2

2

+0-

2

2

-1-

2

2

+0=0，
∴f（1）+f（2）+…+f（2011）=251×[f（1）+f（2）+…+f（8）]+f（1）+f（2）+f（3）=0+

2

2

+1+

2

2

=

2

+1．

点评：本题主要考查正弦函数的周期性的应用，属于基础题．