Question

如图，已知定点A（0，3），动点B在直线l₁：y=1上，动点C在直线l₂：y=-1上，且∠BAC=90°，则△ABC的面积的最小值为

 

．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：计算题,解三角形,不等式的解法及应用

分析：设B（x₁，1），C（x₂，-1），求出AB，AC的长，运用两直线垂直的条件，以及三角形的面积公式，化简整理，再由基本不等式可得最小值．

解答： 解：设B（x₁，1），C（x₂，-1），
则|AB|=

x12+4

，|AC|=

x22+16

，
且AB⊥AC，有

2

-x1

•

4

-x2

=-1，即x₁x₂=-8，
则△ABC的面积S=

1

2

|AB|•|AC|=

1

2

x12+4

•

x22+16

=

1

2

(x12+4)(16+ 64 x12 )

=

1

2

128+16(x12+ 16 x12 )

≥

1

2

128+16×2×4

=8．
当且仅当x₁=±2时，取得最小值8．
故答案为：8．

点评：本题考查两直线的垂直的条件，考查三角形的面积公式及最值，考查基本不等式的运用，属于中档题．