Question

16．已知函数y=log₂$\frac{x}{8}$•log₄$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$（2≤x≤2^m，m＞1，m∈R）
（1）求x=4${\;}^{\frac{2}{3}}$时对应的y值；
（2）求该函数的最小值．

Answer 1

分析 （1）代入计算，可得x=4${\;}^{\frac{2}{3}}$时对应的y值；
（2）换元，配方求该函数的最小值．

解答 解：（1）x=4${\;}^{\frac{2}{3}}$时，y=log₂$\frac{x}{8}$•log₄$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{-5}{3}×\frac{1}{6}+\frac{1}{2}$=$\frac{2}{9}$；
（2）y=log₂$\frac{x}{8}$•log₄$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$=（log₂x-3）（$\frac{1}{2}$log₂x-$\frac{1}{2}）+\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$，
设t=log₂x，t∈[1，m]，∴y=$\frac{1}{2}{t}^{2}$-2t+2=$\frac{1}{2}（t-2）^{2}$
1＜m≤2时，函数在[1，m]上单调递减，y_min=$\frac{1}{2}{m}^{2}$-2m+2；
m＞2时，函数在[1，2]上单调递减，在[2，m]上单调递增，t=2时，y_min=0，
综上：y_min=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{m}^{2}-2m+2，1＜m≤2}\\{0，m＞2}\end{array}\right.$…．（15分）

点评 本题考查函数的单调性与最小值，考查函数值的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．