Question

4．已知点P（-2，$\frac{\sqrt{14}}{2}$）在椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，过点P作圆O：x²+y²=2的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则a²+b²的值是（　　）

• A． 13
• B． 14
• C． 15
• D． 16

Answer 1

分析 由题意，以OP为直径的圆的方程为（x+1）²+（y-$\frac{\sqrt{14}}{4}$）²=$\frac{15}{8}$，与圆O：x²+y²=2相减，可得直线AB的方程，求出c，再利用点P（-2，$\frac{\sqrt{14}}{2}$）在椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，求出a²=8，b²=7，即可求出a²+b²的值．

解答 解：由题意，以OP为直径的圆的方程为（x+1）²+（y-$\frac{\sqrt{14}}{4}$）²=$\frac{15}{8}$．
与圆O：x²+y²=2相减，可得直线AB的方程为2x-$\frac{\sqrt{14}}{2}$y+2=0，
令y=0，可得x=-1，∴c=1，
∵$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{\frac{7}{2}}{{b}^{2}}$=1，∴a²=8，b²=7，
∴a²+b²=8+7=15，
故选C．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．