Question

4．已知函数$f（x）=sin（2x-\frac{π}{3}）$．
（Ⅰ）当x∈R时，求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦函数的单调增区间，求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，$-\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$，即可求f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=sin（2x-\frac{π}{3}）$，x∈R
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z---------（3分）
得$-\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{5π}{12}+kπ$，
所以f（x）的单调递增区间是$[-\frac{π}{12}+kπ，\frac{5π}{12}+kπ]$，k∈Z．---------（5分）
（Ⅱ）∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$∴$-\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$---------（7分）
∴由三角函数图象可得 $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（2x-\frac{π}{3}）≤1$----------（9分）
∴当$x∈[0，\frac{π}{2}]$，y=g（x）的值域为$[-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1]$．---------------（10分）

点评 本题考查正弦函数的图象与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．