Question

8．函数f（x）=Asin（2x+φ）（|φ|≤$\frac{π}{2}$，A＞0）部分图象如图所示，且f（a）=f（b）=0，对不同的x₁，x₂∈[a，b]，若f（x₁）=f（x₂），有f（x₁+x₂）=$\sqrt{3}$，则（　　）

• A． f（x）在（-$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{12}$）上是减函数
• B． f（x）在（-$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{12}$）上是增函数
• C． f（x）在（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$）上是减函数
• D． f（x）在（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$）上是增函数

Answer 1

分析 根据题意，得出函数f（x）的最小正周期，且b-a为半周期，再根据f（x₁）=f（x₂）时f（x₁+x₂）的值求出φ的值，从而写出f（x）的解析式，判断f（x）的单调性．

解答 解：∵f（x）=Asin（2x+φ），∴函数最小正周期为T=π；
由图象得A=2，且f（a）=f（b）=0，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=b-a，解得b-a=$\frac{π}{2}$；
又x₁，x₂∈[a，b]，且f（x₁）=f（x₂）时，有f（x₁+x₂）=$\sqrt{3}$，
∴sin[2（x₁+x₂）+φ]=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即2（x₁+x₂）+φ=$\frac{2π}{3}$，
且sin（2•$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$+φ）=1，即2•$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$+φ=$\frac{π}{2}$，
解得φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{5π}{6}$+2kπ≤2x≤$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）在区间[-$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{π}{12}$+kπ]，k∈Z上是单调增函数，
∴f（x）在区间（-$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{12}$）上是单调增函数．
故选：B．

点评 本题考查了正弦型三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．