题目内容
3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点（点A在点B上方），且|AB|=1，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，且|F1P|+|F2P|=4．（I）求椭圆C的方程；
（2）若直线PF1，PF2与直线y=3分别交于G，H两点，求线段GH长度的最小值；在线段GH长度取得最小值的情况下，若点T是椭圆C上一点，求△TPF1面积的最大值．
分析 （1）根据椭圆定义得出a=2，把A点坐标代入椭圆方程即可求出b，从而得出椭圆方程；
（2）根据三角形相似及P点纵坐标的范围即可求出GH的最小值，求出PF1的距离及所在直线方程，设T（2cosθ，sinθ），利用距离公式求出最大距离即可得出三角形的最大面积．
解答 解：（1）∵|F1P|+|F2P|=2a=4，∴a=2，
把A（c，$\frac{1}{2}$）代入椭圆方程得$\frac{{c}^{2}}{4}+\frac{1}{4{b}^{2}}=1$，又c2=a2-b2=4-b2，
∴b2=1，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）F1F2=2c=2$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
设P（x0，y0），∵△PF1F2∽△PGH，
∴$\frac{GH}{{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{3-{y}_{0}}{{y}_{0}}$=$\frac{3}{{y}_{0}}$-1，∴GH=2$\sqrt{3}$（$\frac{3}{{y}_{0}}$-1），
∵0＜y0≤1，∴当y0=1时，GH取得最小值4$\sqrt{3}$．
当y0=1时，P（0，1），F1（-$\sqrt{3}$，0），∴PF1=2，直线PF1的方程为$\sqrt{3}$x-3y+3=0，
设T（2cosθ，sinθ），则T到直线PF1的距离d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ-3sinθ+3|}{2\sqrt{3}}$=$\frac{|\sqrt{21}cos（θ+φ）+3|}{2\sqrt{3}}$，
∴当cos（θ+φ）=1时，d取得最大值$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$，
∴△TPF1面积的最大值为$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$．
点评 本题考查令椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
| A． | $\frac{1}{9}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{2}{3}$ | D． | $\frac{8}{9}$ |
| A． | （$\frac{{-3+4\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{{-4+3\sqrt{3}}}{2}$） | B． | （$\frac{{-3+4\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{{-4-3\sqrt{3}}}{2}$） | C． | （$\frac{{-4+3\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{{-3-4\sqrt{3}}}{2}$） | D． | （$\frac{{-4-3\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{{-3+4\sqrt{3}}}{2}$） |
函数f（x）=Asin（2x+φ）（|φ|≤$\frac{π}{2}$，A＞0）部分图象如图所示，且f（a）=f（b）=0，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）=f（x2），有f（x1+x2）=$\sqrt{3}$，则（ ）| A． | f（x）在（-$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{12}$）上是减函数 | B． | f（x）在（-$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{12}$）上是增函数 | ||
| C． | f（x）在（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$）上是减函数 | D． | f（x）在（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$）上是增函数 |
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，且过点（1，$\frac{3}{2}$），
如图，已知四棱锥S-ABCD是底面边长为$2\sqrt{3}$的菱形，且$∠BAD=\frac{π}{3}$，若$∠ASC=\frac{π}{2}$，SB=SD