Question

4．若定义在区间D上的函数y=f（x）满足：对?x∈D，?M∈R，使得|f（x）|≤M恒成立，则称函数y=f（x）在区间D上有界．则下列函数中有界的是：①④⑤．
①y=sinx；②$y=x+\frac{1}{x}$；③y=tanx；④$y=\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{{{e^x}+{e^{-x}}}}$；
⑤y=x³+ax²+bx+1（-4≤x≤4），其中a，b∈R．

Answer 1

分析 要对各个函数的定义域、值域逐一研究，其中对于函数y=sinx；y=tanx主要考察其值域，对于$y=x+\frac{1}{x}$主要考察单调性，对于$y=\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{{{e^x}+{e^{-x}}}}$主要考察换元思想，对于y=x³+ax²+bx+1（-4≤x≤4），主要考察闭区间上的连续函数必有最大值和最小值这一性质．

解答 解：①∵y=|sinx|≤1，
∴函数y=|sinx|在区间R上有界．
②∵y=|x+$\frac{1}{x}$|≥2
∴函数y=|x+$\frac{1}{x}$|在区间{x|x≠0}上无界；
③∵y=|tanx|≥0
∴函数y=|tanx|在区间{x|x≠$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z}上无界；
④∵$y=\frac{{{e^x}-{e^{-x}}}}{{{e^x}+{e^{-x}}}}$；
令t=e^x，t＞0
则原式y=$\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}+1}$=1-$\frac{2}{{t}^{2}+1}$∈（-1，1）
即值域为（-1，1）
∴存在M=1，对?x∈R，使得|f（x）|≤M恒成立，
∴④是有界的．
⑤∵y=x³+ax²+bx+1（-4≤x≤4），
∴y在区间[-4，4]上是连续的函数，故一定要最大值P和最小值Q，
设M=max{|P|，|Q|}
∴对?x∈D，?M∈R，使得|f（x）|≤M恒成立，
故⑤是有界的．
故本题答案为：①④⑤．

点评 本题是关于函数的定义域和值域方面的综合性问题，属于难题．