Question

16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），图象上有一个最低点是P（-$\frac{π}{6}$，-1），对于f（x₁）=1，f（x₂）=3，|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{4}$．
（Ⅰ）若f（α+$\frac{π}{12}$）=$\frac{11}{8}$，且α为第三象限的角，求sinα+cosα的值；
（Ⅱ）讨论y=f（x）+m在区间[0，$\frac{π}{2}$]上零点的情况．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，求出A、ω与φ的值，写出f（x）的解析式，再计算sinα+cosα的值；
（Ⅱ）根据x的取值范围，计算f（x）的值域，再求函数y=f（x）+m在$[0，\frac{π}{2}]$上的零点问题．

解答 解：（Ⅰ）由已知：-A+1=-1，
∴A=2，$\frac{T}{4}=\frac{π}{4}$，解得T=π，∴ω=2；（2分）
又且过点$P（-\frac{π}{6}，-1）$，
∴$sin（-\frac{π}{6}×2+φ）=-1$，
∴$φ=-\frac{π}{6}$；（4分）
∴f（x）=$2sin（2x-\frac{π}{6}）+1$；（5分）
由$f（α+\frac{π}{12}）=\frac{11}{8}$，得 $2sin2α=\frac{3}{8}$，（7分）
∵α为第三象限的角，
∴sinα+cosα=$-\sqrt{1+sin2α}=-\frac{{\sqrt{19}}}{4}$；（8分）
（Ⅱ）∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
∴$0≤2sin（2x-\frac{π}{6}）+1≤3$，
∴$0≤2sin（2x-\frac{π}{6}）+1≤3$；（10分）
∴①当-2＜m≤0或m=-3时，函数y=f（x）+m在$[0，\frac{π}{2}]$上只有一个零点；
②当-3＜m≤-2时，函数y=f（x）+m在$[0，\frac{π}{2}]$上有两个零点；
 ③当m＜-3或m＞0时，函数y=f（x）+m在$[0，\frac{π}{2}]$上没有零点．      …（13分）

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+∅）的图象与性质的应用问题，也考查了函数零点的应用问题，是综合性题目．