Question

4．柯西不等式是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的．具体表述如下：对任意实数a₁，a₂，…，a_n和b₁，b₂，…b_n（n∈N⁺，n≥2），都有（a₁²+a₂²+…+a_n²）（b₁²+b₂²+…b_n²）≥（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²．
（1）证明n=2时柯西不等式成立，并指出等号成立的条件；
（2）若对任意x∈[2，6]，不等式3$\sqrt{x-2}$+2$\sqrt{6-x}$≤m恒成立，求实数m的取值范围（4分）

Answer 1

分析 （1）构造函数，利用判别式证明即可；
（2）利用柯西不等式求出（3$\sqrt{x-2}$+2$\sqrt{6-x}$）_max，即可求实数m的取值范围．

解答 （1）证明：构造函数f（x）=（a₁x+b₁）²+（a₂x+b₂）²=（a₁²+a₂²）x²+2（a₁b₁+a₂b₂）x+（b₁²+b₂²）．
注意到f（x）≥0，所以△=[2（a₁b₁+a₂b₂）]²-4（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）≤0，
即（a₁b₁+a₂b₂）²≤（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）．
（其中等号成立当且仅当a₁x+b₁=a₂x+b₂=0，即a₁b₂=a₂b₁．）
（2）解：由（1）可得（3$\sqrt{x-2}$+2$\sqrt{6-x}$）²≤（3²+2²）[（$\sqrt{x-2}$）²+（$\sqrt{6-x}$）²]=52，
∴（3$\sqrt{x-2}$+2$\sqrt{6-x}$）_max=2$\sqrt{13}$，
∵对任意x∈[2，6]，不等式3$\sqrt{x-2}$+2$\sqrt{6-x}$≤m恒成立，
∴m≥$2\sqrt{13}$．

点评 本题是中档题，考查不等式的证明与应用，不等式求函数的最值，考查知识的应用能力，逻辑推理能力．