Question

12．直线l过点P（-2，0）且倾斜角为150⁰，以直角坐标系的原点为极点，x轴正方向为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ=15．
（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）直线l交曲线C于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）直线l过点P（-2，0）且倾斜角为150°，利用斜率计算公式及其同角三角函数基本关系式即可得出可得l的参数方程．由曲线C的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ=15，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$即可得出直角坐标方程．
（2）把l的参数方程代入C得：${t^2}+3\sqrt{3}t-7=0$，设A，B对应参数t₁，t₂，利用|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，即可得出．

解答 解：（1）直线l过点P（-2，0）且倾斜角为150°，即斜率为tan150°=$\frac{sin15{0}^{°}}{cos15{0}^{°}}$=$\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
可得l的参数方程为：$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}（t}\right.$为参数）．
∵曲线C的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ=15，
∴直角坐标方程C为：x²+y²-2x-15=0．
（2）把l的参数方程代入C得：${t^2}+3\sqrt{3}t-7=0$，
设A，B对应参数t₁，t₂，
则${t_1}+{t_2}=-3\sqrt{3}，{t_1}•t{\;}_2=-7$，
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（-3\sqrt{3}）^{2}-4×（-7）}$=$\sqrt{55}$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．