Question

在三棱锥C-ABD中（如图），△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，AB=4，二面角A-BD-C的大小为60°，并给出下面结论：
①AC⊥BD；
②AD⊥CO；
③△AOC为正三角形；
④cos∠ADC=

3

4

；
⑤四面体ABCD的外接球面积为32π．
其中真命题是（　　）

• A、②③④
• B、①③④
• C、①④⑤
• D、①③⑤

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：根据等腰直角三角形的性质得OA⊥BD，OC⊥BD，且OC=OA=OB=OD=

1

2

BD，再由线面垂直的判定定理判断出①、②、③的正确性；由余弦定理求出cos∠ADC的值判断出④正确性；再由条件求出四面体ABCD的外接球的半径，求出它的表面积判断出⑤正确性．

解答： 解：∵△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，
∴OA⊥BD，OC⊥BD，且OC=OA=

1

2

BD，
又∵0A∩OC=O，∴BD⊥平面AOC，
则AC⊥BD，即①正确；
由二面角A-BD-C的大小为60°得，∠AOC=60°，
∵OC=OA，∴△AOC为正三角形，即③正确；
假设AD⊥CO，由OC⊥BD，且AD∩BD=D得，OC⊥平面ABD，
∴0A⊥OC，这与∠AOC=60°矛盾，故②不正确；
由AB=4得，AD=CD=4，且AC=OC=OA=2

2

，
∴cos∠ADC=

AD2+CD2-AC2

2AD•CD

=

42+42-(2 2 )2

2×4×4

=

3

4

，
故④不正确；
由OA=OB=OC=OD得，四面体ABCD的外接球的球心是O，且半径r=2

2

，
∴四面体ABCD的外接球的面积为32π，故⑤正确，
故选D．

点评：本题是以三棱锥为载体，考查了等腰直角三角形的性质、线面垂直的判定定理、二面角的定义、余弦定理和四面体的外接球的如何确定球心和求半径等，综合性强，考查了的知识点多，难度较大．