Question

12．如图，已知AB⊥平面BEC，AB∥CD，AB=BC=4，CD=2，△BEC为等边三角形，F，G分别是AB，CD的中点．求证．
（Ⅰ）平面ABE⊥平面ADE；
（Ⅱ）求平面ADE与平面EFG所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AE、BE的中点M，N，连结MN、MD、CN，推导出四边形CDMN为平行四边形，从而MD⊥面ABE，由此能证明面ABE⊥面ADE．
（Ⅱ）以BC中点O为原点，OE为x轴，OC为y轴，垂直BC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ADE与平面EFG所成的锐二面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）取AE、BE的中点M，N，
连结MN、MD、CN，
∵AB⊥面BEC，MN∥AB，
∴NM⊥平面BEC，∴NM⊥CN，
又∵CN⊥BE，∴CN⊥面ABE．
又∵MN$\underset{∥}{=}$CD，∴四边形CDMN为平行四边形，
∴CN$\underset{∥}{=}$MD，∴MD⊥面ABE，
又∵MD?面ADE，∴面ABE⊥面ADE．
解：（Ⅱ）如图，以BC中点O为原点，OE为x轴，OC为y轴，
垂直BC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，-2，4），B（0，-2，0），C（0，2，0），
D（0，2，2），E（2$\sqrt{3}$，0，0），F（0，-2，2），G（0，2，1），
$\overrightarrow{AD}$=（0，4，-2），$\overrightarrow{AE}$=（2$\sqrt{3}$，2，-4），$\overrightarrow{EF}$=（-2$\sqrt{3}$，-2，2），$\overrightarrow{EG}$=（-2$\sqrt{3}$，2，1），
设平面ADE的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=4y-2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=2\sqrt{3}x+2y-4z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得平面ADE的法向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，1，2$），
同理，得平面EFG的法向量$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，4），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴平面ADE与平面EFG所成的锐二面角的余弦值为$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．