Question

7．已知函数f（x）=x²-2x+m，在区间[-2，4]上随机取一个实数x，若事件“f（x）＜0”发生的概率为$\frac{2}{3}$，则m=-3．

Answer 1

分析 本题符合几何概型，只要分别求出已知区间长度以及满足不等式的区间长度，再由根与系数的关系得到关于m的方程解之

解答 解：在区间[-2，4]上随机取一个数x对应的区间长度为6，
而使f（x）＜0的概率为$\frac{2}{3}$，即x²-2x+m＜0的概率为$\frac{2}{3}$，
得到使x²-2x+m＜0成立的x的区间长度为4，即|x₁-x₂|=4，
所以（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16，
所以4-4m=16，解得m=-3；
故答案为：-3．

点评 本题考查几何概型，解题的关键是：解不等式，确定其测度，利用概率的求法以及根与系数的关系得到关于m 的方程．