Question

12．给出下列四个命题：
①函数f（x）=1-2sin²$\frac{x}{2}$的最小正周期为2π；
②“x²-4x-5=0”的一个必要不充分条件是“x=5”；
③命题p：?x∈R，tanx=1；命题q：?x∈R，x²-x+1＞0，则命题“p∧（￢q）”是假命题；
④函数f（x）=x³-3x²+1在点（1，f（1））处的切线方程为3x+y-2=0．
其中正确命题的序号是①③④．

Answer 1

分析 逐项分析即可．①把函数的解析式变形可得；②双向判断是否成立即可判断正误；③根据复合命题的真值判断方法易得；④先求导数，由导数的几何意义即得．

解答 解：①∵$f（x）=1-2si{n}^{2}\frac{x}{2}=cosx$，∴T=2π，故①正确；
②当x=5时，有x²-4x-5=0，但当x²-4x-5=0时，不能推出x一定等于5，故“x=5”是“x²-4x-5=0”成立的充分不必要条件，故②错误；
③易知命题p为真，因为${x}^{2}-x+1=（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}$＞0，故命题q为真，所以p∧（￢q）为假命题，故③正确；
④∵f′（x）=3x²-6x，∴f′（1）=-3，∴在点（1，f（1））的切线方程为y-（-1）=-3（x-1），即3x+y-2=0，故④正确．
综上，正确的命题为①③④．
故答案为①③④．

点评 本题考查了充分必要条件、复合命题真假的判断以及导数的几何意义．考查对基本知识的掌握．属于基础题．