Question

4．函数$y={3^{\sqrt{{x^2}-4}}}$的值域（　　）

• A． [1，+∞）
• B． （1，+∞）
• C． （2，+∞）
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 求出定义域，再求出$\sqrt{{x}^{2}-4}$的值域，根据指数函数的性质求解值域．

解答 解：函数$y={3^{\sqrt{{x^2}-4}}}$，其定义域为{x|x≥2或x≤-2}．
令t=$\sqrt{{x}^{2}-4}$，
则t≥0，
∵函数$y={3^{\sqrt{{x^2}-4}}}$=3^t是增函数，
∴当t=0时，函数y取得最小值为1，
所以函数$y={3^{\sqrt{{x^2}-4}}}$的值域为[1，+∞）．
故选A．

点评 本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．