Question

3．已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）
（1）若$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=-1，求sinα-cosα的值；
（2）若|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{13}$，且α∈（0，π），求$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角的正弦值．（O为坐标原点）

Answer 1

分析 （1）由已知中A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），求出向量$\overrightarrow{AC}、\overrightarrow{BC}$的坐标，根据$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=-1，利用同角三角函数关系式及辅助角公式，求出sinα-cosα的值；
（2）由|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{13}$，代入向量模的计算公式，可以求出cosα，sinα，进而求出C点坐标，代入向量夹角公式，即可得到答案．

解答 解：（1）∵A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），
∴$\overrightarrow{AC}=（cosα-3，sinα），\overrightarrow{BC}=（cosα，sinα-3）$，
由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=-1，得cosα（cosα-3）+sinα（sinα-3）=-1，
得sinα+cosα=$\frac{2}{3}$，∴2sinαcosα=-$\frac{5}{9}$．
∴sinα-cosα=$±\sqrt{（sinα-cosα）^{2}}$=±$\sqrt{（sinα+cosα）^{2}-4sinαcosα}$=$±\sqrt{1+\frac{10}{9}}=±\frac{\sqrt{19}}{3}$；
（2）∵|$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{13}$，∴（3+cosα）²+sin²α=13，
∴cosα=$\frac{1}{2}$，
∵α∈（0，π），∴α=$\frac{π}{3}$，则sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴C（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），则$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
设$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角为θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{OC}|}$$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵θ∈（0，π），sin$θ=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的知识点是两角和与差的正弦函数，数量积表示两个向量的夹角，其中（1）的关键是根据向量数量积公式，得到关于α 的三角方程，（2）的关键是求出cosα，sinα，是中档题．