设函数f(ω＞0.0＜φ＜$\frac{π}{2}$)的图象关于直线$x=\frac{2π}{3}$对称.它的周期为π.则下列说法正确是③．①f(x)的图象过点$$,②f(x)在$[{\frac{π}{12}.\frac{2π}{3}}]$上单调递减,③f(x)的一个对称中心是$$,④将f(x)的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y=2sinωx的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．设函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象关于直线$x=\frac{2π}{3}$对称，它的周期为π，则下列说法正确是③．（填写序号）
①f（x）的图象过点$（{0，\frac{3}{2}}）$；
②f（x）在$[{\frac{π}{12}，\frac{2π}{3}}]$上单调递减；
③f（x）的一个对称中心是$（{\frac{5π}{12}，0}）$；
④将f（x）的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y=2sinωx的图象．

分析根据对称轴的性质和周期公式求解出ω，φ，可得f（x）的解析式，结合三角函数的图象及性质判断可得答案．

解答解：由题意，周期为π，即T=$\frac{2π}{ω}=π$，可得ω=2．则f（x）=2sin（2x+φ）
图象关于直线$x=\frac{2π}{3}$对称，可得2×$\frac{2π}{3}$+φ=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z．
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$．
则f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
当x=0时，可得f（0）=1，图象过点（0，1），∴①不对．
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ．
可得f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上单调递减；∴②不对．
当x=$\frac{5π}{12}$时，可得f（$\frac{5π}{12}$）=0，图象关于点（$\frac{5π}{12}$，0）对称，∴③对．
将f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度得到：2sin（2x$-\frac{π}{6}$），∴④不对．
故答案为③．

点评本题主要考查三角函数的图象和性质的运用，利用已知条件求出f（x）的解析式是解决本题的关键．属于中档题．

	A．	S₂₀₁₇=2017，a₂₀₁₁＜a₇		B．	S₂₀₁₇=2017，a₂₀₁₇＞a₇
	C．	S₂₀₁₂=-2017，a₂₀₁₇＜a₇		D．	S₂₀₁₇=-2017，a₂₀₁₇＞a₇

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