题目内容
16．若方程kx-lnx=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）| A． | （1，ln2） | B． | $（{\frac{1}{e}，e}）$ | C． | $（{0，\frac{1}{e}}）$ | D． | （0，e） |
分析 分离参数得k=$\frac{lnx}{x}$，作出f（x）=$\frac{lnx}{x}$的函数图象，根据函数图象即可得出k的范围．
解答 解：由kx-lnx=0得k=$\frac{lnx}{x}$，
令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，则f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴当0＜x＜e时，f′（x）＞0，当x＞e时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）单调递减，
∴当x=e时，f（x）取得最大值f（e）=$\frac{1}{e}$．
作出f（x）的函数图象如图所示：
∵方程kx-lnx=0有两个实数根，即方程k=f（x）有两解，
∴0＜k＜$\frac{1}{e}$．
故选C．
点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数单调性与函数最值的计算，属于中档题．
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| A． | $\stackrel{→}{AC}$ | B． | $\stackrel{→}{BD}$ | C． | $\stackrel{→}{CA}$ | D． | $\stackrel{→}{DB}$ |
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