Question

18．设等差数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，已知 ${（{a}_{7}-1）}^{3}+2017（{a}_{7}-1）=1$，${（{a}_{2011}-1）}^{3}+2017（{a}_{2011}-1）=-1$，则下列结论正确的是（　　）

• A． S₂₀₁₇=2017，a₂₀₁₁＜a₇
• B． S₂₀₁₇=2017，a₂₀₁₇＞a₇
• C． S₂₀₁₂=-2017，a₂₀₁₇＜a₇
• D． S₂₀₁₇=-2017，a₂₀₁₇＞a₇

Answer 1

分析 根据等式，构造函数，求导函数，可知函数是单调递增的，再利用函数的单调性即等差数列的求和公式，即可得到结论．

解答 解：根据（a₇-1）³+2017（a₇-1）=1，（a₂₀₁₁-1）³+2017（a₂₀₁₁-1）=-1，
构造函数f（x）=x³+2017x，由于函数f（x）=x³+2017x是奇函数，
由条件有f（a₇-1）=1，f（a₂₀₁₁-1）=-1．
求导函数可得：f′（x）=3x²+2017＞0，所以函数f（x）=x³+2017x是单调递增的，
而f（1）=2018＞1=f（a₇-1），即a₇-1＜1，解得：a₇＜2．
∵f（a₇-1）=1，f（a₂₀₁₁-1）=-1，∴a₇-1＞a₂₀₁₁-1，a₇-1=-（a₂₀₁₁-1），
∴a₇＞0＞a₂₀₁₁，a₇+a₂₀₁₁=2，
由等差数列的性质可知：a₁+a₂₀₁₇=a₇+a₂₀₁₁=2
∴S₂₀₁₇=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{2017}）×2017}{2}$=2017．
综上知，S₂₀₁₇=2017，且a₂₀₁₁＜a₇ ，
故选A．

点评 本题考查函数与方程的思想，综合考查函数的奇偶性、单调性、等差数列的通项公式、等差数列性质、等差数列求和公式以及函数与方程的思想，转化与化归思想，属于难题