Question

已知函数f（x）=ln|x|（x≠0），函数g（x）=

1

f′(x)

+af′（x）（x≠0）
（1）当x≠0时，求函数y=g（x）的表达式；
（2）若a＞0，函数y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：（1）对x的取值分类讨论，化简绝对值，求出f′（x）得到x＞0和x＜0导函数相等，代入到g（x）中得到即可．
（2）根据基本不等式得到g（x）的最小值即可求出a．

解答： 解：（1）∵f（x）=ln|x|，
∴当x＞0时，f（x）=lnx，当x＜0时，f（x）=ln（-x），
∴当x＞0时，f′(x)=

1

x

，当x＜0时，f′(x)=

1

-x

•(-1)=

1

x

，
∴当x≠0时，函数g（x）=

1

f′(x)

+af′（x）=x+

a

x

．
（2）∵由（1）知当x＞0时，g（x）=x+

x

a

，
∴当a＞0，x＞0时，g（x）≥2

a

，
当且仅当x=

a

时取等号 
∴函数y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2

a

．
∴依题意得2

a

=2，∴a=1．

点评：考查学生导数运算的能力，理解函数最值及几何意义的能力，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．