Question

已知函数f（x）=x²+ax+1-a，若x∈[-1，2]时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由已知中x∈[-1，2]时，f（x）≥0恒成立，可得f（x）的最小值大于或等于0，结合二次函数的图象和性质分当-

a

2

＜-1，即a＞2时，当-1≤-

a

2

≤2，即-4≤a≤2时，当-

a

2

＞2，即a＜-4时，三种情况讨论满足条件的实数a的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：由题设，即f（x）的最小值大于或等于0，
而f（x）的图象为开口向上，对称轴是x=-

a

2

的抛物线，
当-

a

2

＜-1，即a＞2时，f（x）在x∈[-1，2]上单调递增，
∴f（-1）=2-2a≥0⇒a≤1，此时a∈∅；
当-1≤-

a

2

≤2，即-4≤a≤2时，f（x）在x∈[-1，-

a

2

]上单调递减，在x∈[-

a

2

，2]上单调递增，
∴f(-

a

2

)=-

1

4

a2-a+1≥0⇒-2

2

-2≤a≤2

2

-2，此时-4≤a≤2

2

-2；
当-

a

2

＞2，即a＜-4时，f（x）在x∈[-1，2]上单调递减，
∴f（2）=5+a≥0⇒a≥-5，此时-5≤a＜-4；
综上得：-5≤a≤2

2

-2．

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，恒成立问题，其中将问题转化为f（x）的最小值大于或等于0，是解答的关键．