Question

已知f（x）=lnx+

a

x

（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+2x，在[

1

2

，+∞）单调递增，求a的范围；
（Ⅱ）当n∈N^*时，试比较（

n

n+1

）^n（n+1）与（

1

e

）ⁿ⁺²的大小，并证明．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数的正负性，来求函数f（x）的单调区间，注意函数的单调区间应在其定义域内考虑；
（Ⅱ）函数g（x）在区间[

1

2

，+∞）上单调递增，则其导函数g′（x）≥0恒成立；
（Ⅲ）构造新的函数h（x）=lnx+

2

x

+x，考虑其在定义域内的最小值，即h（x）≥h（x）的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，函数f(x)=lnx+

1

x

，定义域为（0，+∞），
则f′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
当f'（x）＜0时，0＜x＜1，当f'（x）＞0时，x＞1
∴函数f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）∵g(x)=lnx+

a

x

+2x，∴g′(x)=

1

x

-

a

x2

+2=

2x2+x-a

x2

≥0在[

1

2

，+∞)上恒成立，
令φ（x）=2x²+x-a=2(x+

1

4

)2-

1

8

-a，φ（x）在[

1

2

，+∞）上单调递增，
∴φ（x）≥φ(

1

2

)=2×(

1

2

)2+

1

2

-a≥0，∴a≤1．
（Ⅲ）令h（x）=lnx+

2

x

+x，则h′(x)=

1

x

-

2

x2

+1=

x2+x-2

x2

，（x＞0），
∴h（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，
又h（1）=3∴h(x)=lnx+

2

x

+x≥3，当且仅当x=1时取最小值，
∵0＜

n

n+1

＜1，∴h(

n

n+1

)=ln

n

n+1

+

2(n+1)

n

+

n

n+1

＞3∴ln

n

n+1

+

2

n

-

1

n+1

＞0，
∴ln

n

n+1

+

n+2

n(n+1)

＞0
∴n(n+1)ln

n

n+1

＞-(n+2)，
∴(

n

n+1

)n(n+1)＞(

1

e

)n+2．

点评：这是一道导数的综合题，求单调区间、解决恒成立问题、证明不等式；利用最值解决恒成立问题，运用了构造函数法证明不等式．这些都是高考的热点，本题难度适中．