Question

若实数x，y满足

2x-y≥0 x+y-2≥0 x≤3

，且z=ax+y取最小值的最优解有无穷多个，则实数a的值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，要使z=ax+y取最小值的最优解有无穷多个，则目标函数和其中一条直线平行，然后根据条件即可求出a的值．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=ax+y，得y=-ax+z，
若a=0，此时y=z，此时函数y=z只在C处取得最小值，不满足条件．
若a＞0，则目标函数的斜率k=-a＜0．
平移直线y=-ax+z，
由图象可知当直线y=-ax+z和直线x+y=2平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，
此时-a=-1，即a=1．
若a＜0，则目标函数的斜率k=-a＞）．
平移直线y=-ax+z，
由图象可知当直线y=-ax+z，此时目标函数只在C处取得最小值，不满足条件．
综上a=1．
故答案为：1．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z的几何意义是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．