Question

设不等式组

x＞0 y＞0 y≤-nx+3n

所表示的平面区域为D_n，记D_n内的整点个数为a_n（n∈N^*）（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）．
（1）求证：数列{a_n}的通项公式是a_n=3n（n∈N^*）．
（2）记数列{a_n}的前n项和为S_n，且T_n=

Sn

3•2n-1

．若对于一切的正整数n，总有T_n≤m，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,简单线性规划

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由x＞0，y＞0，3n-nx＞0知0＜x＜3，易知x=1，或x=2，D_n内的整点在直线x=1和x=2上，设直线y=-nx+3n为l，l与直线x=1、x=2的交点的纵坐标分别为y₁，y₂，可求得其值，从而可证数列{a_n}的通项公式是a_n=3n（n∈N^*）．
（2）易求S_n=

3n(1+n)

2

，T_n=

Sn

3•2n-1

=

n(n+1)

2n

，T_n+1-T_n=-

(n+1)(n-2)

2n+1

，经分析知T₂，T₃是数列{T_n}中的最大项，从而可求实数m的取值范围．

解答： （1）证明：由x＞0，y＞0，3n-nx＞0，得0＜x＜3．
∴x=1，或x=2．
∴D_n内的整点在直线x=1和x=2上．
记直线y=-nx+3n为l，l与直线x=1、x=2的交点的纵坐标分别为y₁，y₂．
则y₁=-n+3n=2n，y₂=-2n+3n=n．
∴a_n=3n（n∈N^*）．
（2）解：∵S_n=3（1+2+3+…+n）=

3n(1+n)

2

，
∴T_n=

Sn

3•2n-1

=

n(n+1)

2n

，
∴T_n+1-T_n=

(n+1)(n+2)

2n+1

-

n(n+1)

2n

=-

(n+1)(n-2)

2n+1

，
∴当n≥3时，T_n＞T_n+1，且T₁=1＜T₂=T₃=

3

2

．
于是T₂，T₃是数列{T_n}中的最大项，故m≥T₂=

3

2

．
即实数m的取值范围为[

3

2

，+∞）．

点评：本题考查数列的求和，考查数列通项公式的确定，考查数列单调性与最值的综合应用，属于难题．