Question

已知F₁，F₂分别是双曲线x²-

y2

b2

=1的左右焦点，A是双曲线在第一象限内的点，若|AF₂|=4且∠F₁AF₂=60°，延长AF₂交双曲线右支于点B，则△F₁AB的面积等于

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据双曲线的定义，得|AF₁|-|AF₂|=2a=2，△AF₁F₂中根据余弦定理算出|F₁F₂|²，从而得到c²=7．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由直线AB方程与双曲线方程联解，可得B的坐标，由△F₁AB的面积S=

1

2

×2c×|y₁-y₂|，计算即可得到．

解答： 解：如图所示，由双曲线的方程可知：a=1．
∴|AF₁|-|AF₂|=2，
∵|AF₂|=4，∴|AF₁|=6．
∴|F₁F₂|²=（2c）²=6²+4²-2×6×4×cos60°，
即有c²=7，
∴b²=c²-1=6，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则

(x1-c)2+y12 =4 b2x12-y12=b2

，化为7x₁²-2

7

x₁-15=0，
解得x₁=

5 7

7

，或x₁=-

3 7

7

（舍去）．
由此解出A的坐标为（

5 7

7

，

6 21

7

），
直线AB的斜率为k=

6 21 7

5 7 7 - 7

=-3

3

．
设直线AB方程为y=-3

3

（x-

7

），与双曲线6x²-y²=6联解，
得到B（

13 7

7

，-

18 21

7

），
∴△ABF₁的面积S=

1

2

×2

7

×|y₁-y₂|=

7

×|

6 21

7

+

18 21

7

|=24

3

．
故答案为：24

3

．

点评：本题给出双曲线的焦点三角形△AF₁F₂的两边之长和夹角，求△F₁AB的面积．着重考查了双曲线的定义与标准方程、直线与圆锥曲线位置关系和三角形的面积公式等知识点，属于中档题．