Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=t（t≠-1），a_n+1-S_n=n．
（Ⅰ） 当t为何值时，数列{a_n+1}是等比数列？
（Ⅱ） 设数列{b_n}的前n项和为T_n，b₁=1，点（T_n+1，T_n）在直线

x

n+1

-

y

n

=

1

2

上，在（Ⅰ）的条件下，若不等式

b1

a1+1

+

b2

a2+1

+…+

bn

an+1

≥m-

9

2+2an

对于n∈N^*恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ） 由条件a_n+1-S_n=n，令n=n-1得a_n-S_n-1=n-1（n≥2），两式相减得数列递推公式a_n+1=2a_n+1，转化为a_n+1+1=2（a_n+1）（n≥2）求a₂，然后利用数列{a_n+1}是等比数列，再求t即可；
（Ⅱ）由点（T_n+1，T_n）在直线

x

n+1

-

y

n

=

1

2

上求出{

Tn

n

}是等差数列且Tn=

n(n+1)

2

，然后求出b_n=n，连同an=2n-1-1代入不等式化简．不等式的左边为等比数列前n项和令其为所R_n，利用错位相减法求出Rn=4-

n+2

2n-1

，则原不等式为Rn≥m-

9

2n

恒成立，即4-

2n-5

2n

≥m恒成立，利用数列的增减性求解．

解答： 解：（Ⅰ）由a_n+1-S_n=n，得a_n-S_n-1=n-1（n≥2），
两式相减得a_n+1-a_n-（S_n-S_n-1）=1，即a_n+1=2a_n+1，
所以a_n+1+1=2（a_n+1）（n≥2），
由a₁=t及a_n+1-S_n=n，得a₂=t+1，
因为数列{a_n+1}是等比数列，所以只需要

a2+1

a1+1

=

t+2

t+1

=2，解得t=0，此时，数列{a_n+1}是以a₁+1=1为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=2n-1-1，因为点（T_n+1，T_n）在直线

x

n+1

-

y

n

=

1

2

上，所以

Tn+1

n+1

-

Tn

n

=

1

2

，
故{

Tn

n

}是以

T1

1

=1为首项，

1

2

为公差的等差数列，则

Tn

n

=1+

1

2

(n-1)，所以Tn=

n(n+1)

2

，
当n≥2时，bn=Tn-Tn-1=

n(n+1)

2

-

(n-1)n

2

=n，b₁=1满足该式，所以b_n=n．
不等式

b1

a1+1

+

b2

a2+1

+…+

bn

an+1

≥m-

9

2+2an

，即为1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

≥m-

9

2n

，
令Rn=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，则

1

2

Rn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，两式相减得(1-

1

2

)Rn=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

，所以Rn=4-

n+2

2n-1

．
由Rn≥m-

9

2n

恒成立，即4-

2n-5

2n

≥m恒成立，又(4-

2n-3

2n+1

)-(4-

2n-5

2n

)=

2n-7

2n+1

，
故当n≤3时，{4-

2n-5

2n

}单调递减；当n≥4时，{4-

2n-5

2n

}单调递增，
当n=3时，4-

2×3-5

23

=

31

8

；当n=4时，4-

2×4-5

24

=

61

16

，则4-

2n-5

2n

的最小值为

61

16

，所以实数m的最大值是

61

16

．

点评：本题是典型的数列题，形式复杂，但规律性强，第一问属基础技巧，知S_n，a_n混合式求递推公式再求通项，第二问较难，求出b_n，代入不等式求解，千万不要怕复杂，克服畏惧心理，沉着答题．