Question

已知奇函数f（x），偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a^x（a＞0，且a≠1）．
（1）证明：f（2x）=2f（x）•g（x）．
（2）若f（x）•f（y）=8，且g（x）•g（y）=4，求g（x+y）•g（x-y）的值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）以-x代x得f（-x）=g（-x）+a^-x再根据函数的奇偶性进行化简，得到关于f（x）与g（x）的方程组，解之即可求出函数f（x）的解析式，从而证得f（2x）=2f（x）g（x）；
（2）由f（x）•f（y）=8，g（x）•g（y）=4，解指数方程，然后可以求值即可．

解答： 证明：（1）∵f（x）+g（x）=a^x，
∴f（-x）+g（-x）=a^-x
∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
∴-f（x）+g（x）=a^-x，
∴f（x）=

1

2

（a^x-a^-x），g（x）=

1

2

（a^x+a^-x）．
∴f（x）g（x）=

1

2

（a^x-a^-x）•

1

2

（a^x+a^-x）=

1

4

（a^2x-a^-2x）=

1

2

f（2x）
即f（2x）=2f（x）g（x）．
（2）∵f（x）•f（y）=8，
∴f（x）•f（y）=

1

2

（a^x-a^-x）•

1

2

（a^y-a^-y）=8，
即a^x+y+a^-x-y-a^x-y-a^-x+y=32  ①
∵g（x）•g（y）=4，
∴g（x）•g（y）=

1

2

（a^x+a^-x）•

1

2

（a^y+a^-y）=4． 
即a^x+y+a^-x-y+a^x-y+a^-x+y=16，②
①+②，得 2（a^x+y+a^-x-y）=48，
∴a^x+y+a^-x-y=24，
即g（x+y）=24，
②-①，得2（a^x-y+a^-x+y）=-16．
∴a^x-y+a^-x+y=-8．即g（x-y）=-8．
∴g（x+y）•g（x-y）=24×（-8）=-192．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，根据函数的奇偶性与题设中所给的解析式求出两个函数的解析式，此是函数奇偶性运用的一个技巧．属于中档题