Question

10．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1，（a＞0，b＞0）$的左右焦点分别为F₁，F₂，过右焦点F₂的直线交双曲线于A，B两点，连接AF₁，BF₁．若|AB|=|BF₁|，且∠ABF₁=90°，则双曲线的离心率为$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$．

Answer 1

分析 设|BF₁|=n，由题意可得|AB|=n，|AF₁|=$\sqrt{2}$n，运用双曲线的定义和勾股定理，化简整理，由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设|BF₁|=n，由|AB|=|BF₁|，且∠ABF₁=90°，可得
|AB|=n，|AF₁|=$\sqrt{2}$n，
由双曲线的定义可得|BF₁|-|BF₂|=2a，
即有|BF₂|=n-2a，
又|AF₁|-|AF₂|=2a，可得|AF₂|=$\sqrt{2}$n-2a，
由|AB|=（$\sqrt{2}$+1）n-4a=n，
解得n=2$\sqrt{2}$a，
在△F₁F₂B中，由|BF₁|²+|BF₂|²=|F₁F₂|²，
即为（2$\sqrt{2}$a）²+（2$\sqrt{2}$-2）²a²=4c²，
化为c²=（5-2$\sqrt{2}$）a²，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$，
故答案为：$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$，

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，运用双曲线的定义和勾股定理是解决本题的关键，考查化简整理的运算能力，属于中档题．