Question

16．设两个非零向量$\vec a$与$\vec b$不共线．
（1）若$\overrightarrow{AB}=\vec a+\vec b，\overrightarrow{BC}=2\vec a+8\vec b，\overrightarrow{CD}=3（{\vec a-\vec b}）$，求证：A，B，D三点共线
（2）试确定实数k，使$k\vec a+\vec b$和$\vec a+k\vec b$反向共线．

Answer 1

分析 （1）利用向量共线定理即可证明．
（2）利用向量共线定理即可证明．

解答 （1）证明：∵$\overrightarrow{AB}=\vec a+\vec b，\overrightarrow{BC}=2\vec a+8\vec b，\overrightarrow{CD}=3（{\vec a-\vec b}）$，
∴$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=2\vec a+8\vec b+3（{\vec a-\vec b}）$=$2\vec a+8\vec b+3\vec a-3\vec b=5（{\vec a+\vec b}）=5\overrightarrow{AB}$．
∴$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{BD}$共线，又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
（2）解：∵$k\vec a+\vec b$与$\vec a+k\vec b$反向共线，∴存在实数λ（λ＜0），使$k\vec a+\vec b=λ（{\vec a+k\vec b}）$，
即$k\vec a+\vec b=λ\vec a+λk\vec b$，∴.$（{k-λ}）\vec a=（{λk-1}）\vec b$．
∵$\vec a，\vec b$是不共线的两个非零向量，∴k-λ=λk-1=0，
∴k²-1=0，∴k=±1，
∵λ＜0，∴k=-1

点评 本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．