Question

1．已知函数f（x）=x²（2^x-2^-x），则不等式f（2x+1）+f（1）＜0的解集是（　　）

• A． $（{-∞，-\frac{1}{2}}）$
• B． （-∞，-1）
• C． $（{-\frac{1}{2}，+∞}）$
• D． （-1，+∞）

Answer 1

分析 根据题意，分析可得函数f（x）=x²（2^x-2^-x）为奇函数且在R上是增函数，则不等式f（2x+1）+f（1）＜0可以转化为2x+1＜-1，解可得x的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，对于函数f（x）=x²（2^x-2^-x），有f（-x）=（-x）²（2^-x-2^x）=-x²（2^x-2^-x）=-f（x），
则函数f（x）为奇函数，
函数f（x）=x²（2^x-2^-x），其导数f′（x）=x²（2^x-2^-x）+x²•ln2（2^x+2^-x）＞0，则f（x）为增函数；
不等式f（2x+1）+f（1）＜0⇒f（2x+1）＜-f（1）⇒f（2x+1）＜f（-1）⇒2x+1＜-1，
解可得x＜-1；
即f（2x+1）+f（1）＜0的解集是（-∞，-1）；
故选：B．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意转化为函数的奇偶性与单调性的问题，不要直接解不等式．